Problema de ejemplo: Movimiento de una partícula

Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta, su posición está definida por la  relación x = t3 – 5t2 – 12t + 20, donde x se expresa en pies y t en segundos.

Determinar

  1. a) el tiempo en el que la velocidad será cero.
  2. b) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo.
  3. c) la aceleración de la partícula en ese tiempo.
  4. d) la distancia recorrida por la partícula desde t = 4 s hasta t = 6s.

La solución del problema es la siguiente:

 

Se determinan las ecuaciones de movimiento, que son:

 

x = t3 – 5t2 – 12t +20                                  (1)

v = dx/dt = 3t2 – 10t – 12                           (2)

a = dv/dt = 6t – 10                                      (3)

 

Para determinar la velocidad (v) se calculó la derivada de la ecuación (1). De igual forma, para la aceleración (a), se calculó la segunda derivada de la ecuación (1), o la derivada de la ecuación (2).

 

a) Tiempo en el que v = 0

 

Se tiene v = 0 en la ecuación (2)

3t2 – 10t – 12 = 0    t = -1s y t = 5s

 

La raíz t = +5s corresponde a un tiempo luego de que el movimiento se ha iniciado, para t < 5 s, v < 0, la partícula se mueve en dirección negativa, para t > 5 s, v > 0, la partícula se mueve en dirección positiva.

 

b) posición y distancia recorrida cuando v = 0.

 

Cuando se sustituye t = 5 s en (1) se tiene x5 = (5)3 – 5(5)2 – 12(5) + 20                      

x5 = -40ft

La posición inicial en t = 0 se definió por x0 = 40ft. Debido a que v es distinto de cero durante el intervalo t = 0 a t = 5 s, se tiene:

Distancia recorrida = x5 – x0 = -40ft – 40ft = -80 ft

El resultado es 80 pies en dirección negativa.

 

c) Aceleración cuando v = 0

 

Aquí se sustituye t = 5s en (3):

a5 = 6(5) – 10                      a5 = 20ft/s2

 

d) Distancia recorrida desde t = 4s hasta t = 6s

De t = 4s a t = 5s se tiene:

x5 = -40 ft

x4 = (4)3 – 5(4)2 – 12(4) + 20 = -44ft

Distancia recorrida = x5 – x4 = -40ft – (-44ft) = 4ft

= 4 pies en dirección positiva

De t = 5s a t = 6s

x6 = (6)3 – 5(6)2 – 12(6) + 20 = -16ft

La distancia total recorrida desde t = 4 hasta t = 6 es de 4ft + 16ft = 20 ft.

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